ご質問いただき誠に有難う御座います。
飛び込み業者と応急処置を施した際に、どのような約束をしたのかがポイントになると思います。飛び込み業者と「工事を行わなくても無料です」「工事を行わなかった場合はいくら請求します」「工事をやらせていただいた場合無料です」などとお客様と飛び込み業者間で打ち合わせしたか、詳細を明記した書類を残しているかなどが重要になります。何も明記した書類がなく何も取り決めが無いのであれば、お支払いしなくて良いと思います。取り決めが無いのに多額な請求を出す事自体がおかしいと思います。